三角 関数。 三角関数の合成とは?公式・証明・やり方、最大最小やグラフなどの問題をわかりやすく解説!

三角関数の証明付き公式集!重要公式をわかりやすく1から解説!

三角 関数

はじめに --- 三角関数について思うこと 三角関数というと高校時代に苦しだ方も多いかもしれません。 とにかく公式も多くて、最初のうちは何に使えるのかよくわからない印象を抱きがちです。 しかし実際は、理系であればいかなる分野に進んでも、その分野の基本的な事象やツールが三角関数を用いて記述されています。 つまり• 高校のうちは三角関数が何に使えるのかよくわからず、よく理解せずに卒業して• 大学や社会に入ってから三角関数を当然のように使うことになり、基礎から学び直すことになって大変な思いをする という方が多いという話をよく聞きます。 このような悪循環を断ち切るためにも、三角比・三角関数を学び始めた段階で「 三角関数が何に使えるのか」を色々知っておくと、学びのモチベーションが高まるのではないかと思います。 そこで本記事では、三角関数の使いどころについて特集してみます。 特に、• ゲームプログラミングなどで三角関数が必要になったけど、よくわかっていないので勉強したい• 三角関数の使い方の overview 三角関数はありとあらゆる分野において、基本的なツールとして根付いています。 音声処理において基本的な道具であるフーリエ解析は、そのベース部分で三角関数が使われていますし、ゲームプログラミングでは方向や回転を表すものとして三角関数が盛んに用いられます。 三角関数の使われ方を整理すると、こんな感じだと思います。 三角関数誕生のキッカケはまさに測量の必要性にありました。 比較的日常生活でも見る機会がありそうな用途でしょうか。 現代では「波」としての用途が多いでしょうか。 Twitter での様々な人のコメントを見ていても、• といった具合に、波に関する話がかなり多いイメージです。 これらの三角関数の使われ方を特集してみます。 様々な分野に共通する三角関数の使い方のエッセンスを抽出したつもりですが、これでもかなり分量が多くなりました。 摘み食いするような感覚で読んでいただけたら幸いです。 三角関数の 3 つの顔 最初に三角関数には大きく 3 つの定義があったことを振り返っておきます。 以下の記事にとてもよくまとまっています。 高校数学の美しい物語さん 具体的には以下の 3 つの定義になります:• マクローリン展開による定義 角度部分が複素数でも扱えるように 本記事の内容は基本的には、直角三角形・単位円までの理解で大丈夫です。 測量 まずは最も古典的な測量方面での三角関数使用例を見てみます。 これは三角関数を学ぶときに最初に教わる 直角三角形の三辺の比 としての三角関数をメインに意識した応用例たちです。 なお三角関数の歴史について関心のある方は「」を読むと面白いです。 3-1. 傾きを知る: 「長さ」から「角度」 例えば、 影の長さから太陽の高度 角度 を測るのは、古くからある三角関数の利用方法の一つでした。 太陽の高度を測ることは、日照時間や日の出時刻などとの関係が深くて重要でした。 などではこのようなことをパッとできるように「三角法の数表」を作成していました。 はそれによってとも伝えられています。 他の応用例 棒の影の長さから太陽の角度を求めるなんてのは、古代ならではの話であって現代の我々にはほとんど関係ないかもしれません。 しかし数学のすごいところは、その考え方が色んなところに応用できることです。 今回の肝は「 長さと長さの関係から角度が計算できる」というところにあります。 atan2 を紐解いています• などなど、色んな場面で使います。 というのは頻出の処理でしょう。 この処理でやっていることは「棒と影の長さから角度を計算する」とほとんど一緒です。 三角関数をよく理解していなかったがために atan2 で躓く方は後を絶たないと聞くので、基礎はとても大事ですね。 3-2. 距離を測る: 「角度」から「長さ」 前節は「長さの比」から「角度」を求める方法でした。 今度は逆に「角度」から「長さ」を求める応用を見てみます。 典型的な応用例として、地球から遠く離れた星までの距離を測る方法を取り上げてみます。 のですが、比較的近い星であればを用いた方法が有効です。 下図はから引用しています。 図で、B と C との間で光り輝いているのが太陽で、B や C にいるのが地球です。 地球は一年かけて太陽の周りをまわっているので、B の位置にいるときもあれば C の位置にいるときもあります。 そして地球から A の位置にある星までの距離 AB や AC の長さです を測りたいです! すごく賢いことに、• 地球が B の位置にいるとき• 地球が C の位置にいるとき とで A の位置にある星の見える角度が僅かに変化します。 この僅かな角度を測定します。 図に整理すると以下のようになるでしょう。 この図で• 他の応用例 以上のような方法にはという名前がついていて、• と多彩な応用があります。 はもちろんのこと、も典型的な応用例です。 また最後の、まだ地球が丸いことすら定説になっていなかった古代において、地球の大きさを測るためにエラトスネテスがとった方法は、とても面白いので是非読んでみてください。 3-3. 直角三角形以外では ここまでの話題は、直角三角形に関する話でした。 直角三角形以外の一般的な三角形に対しても、三角関数を有効活用したいです。 そこで登場するのが• これらは習得するのがしんどく感じる方も多いかもしれないですが、三角関数の有効範囲を拡げるためには重要なものです。 その意識を持って学ぶと理解が深まるのではないかと思います。 CG や、メッシュ分割を用いた構造解析など、一般的な三角形の幾何学を有効活用する場面も多いです。 回転 測量と似ているのですが、特に「回転」を表す応用の重要性から、回転に関する話題を集めてみます。 「」では 直角三角形の辺の比を表すものとして三角関数をとらえましたが、今回は 単位円で考えてみます。 これは「 半直線の傾き」を表しています。 4-1. このような問題を解決する手段として三角関数は大変有効です。 そこで単位円による三角関数の定義が大活躍します。 他の応用例 三角関数のこの使い方は、極めて多くの分野で使用されているアイディアなので、応用例を挙げるのはキリがないですが、すごく面白いものを並べてみます! で紹介する「回転」を使うものも含めています。 4-2. 向きから角度を知る: atan2 前節は「角度から向きを知る」という方向性の話でしたが、今度は「向きから角度を知る」という方向の話です。 でも紹介した話なのですが、atan2 に関する話になります。 それを実現できるのが です。 そのようなことをしたい場面としては• 航法において、目的地方向へと進みたい• 天体観測において、望遠鏡を所望の星へと向けたい• ゲームプログラミングにおいて、目標物にカメラを向けたい といったものがあります。 4-3. このように少し踏み込んで考えてみると面白い世界が見えて来ます。 両者を比べるとが導かれたりします:• などを解析したり、したりするときに、とてもやりやすくなります。 応用例 三角関数の回転を使うと、純粋に見ているだけで楽しくなるようなアートが沢山作れます! アートとしてだけでなくといった応用もあります。 そのあたりの話は以下の記事が大変面白いです:• 4-4. 三次元の回転 ここまで「角度」や「回転」に関する話をしたのですが、 二次元空間を前提とした話になっていました。 現実には、• 3D ゲームプログラミング• 3D コンピュータグラフィックス• 航空機や宇宙機の回転や姿勢 などなど、三次元物体の回転や姿勢を表したい場面も多々あります。 三次元物体の回転や姿勢を表すにはやを用いる方法があります。 三次元の回転が扱えるようになると、応用範囲がグッと広がりますね。 二次元と同様、三角関数を使いまくります。 三次元回転については以下の記事にまとめたので是非読んでいただけたらと思います。 波: フーリエ変換 最後に比較的高度な話題になりますが、多くの方にとって三角関数を必須のツールたらしめている「 波」という見方についてです。 三角関数は「波」を表す基本的な道具として、理系のあらゆる分野で広く根付いています。 その思想の一端を紹介できればと思います。 いきなり波だと言われても、「直角三角形の比」がどう波とつながるんだと疑問に抱く方も多いかもしれません。 5-1. 単振動 まずはこの三角関数のもつ「波っぽさ」を見つめてみたいと思います。 以下の画像は からの引用です。 バネが左右に振動していますが、この振動は実は三角関数を用いて表すことができます。 このような振動をと呼びます。 そしてを見ると、• 円周上の等速運動• バネの単振動• サインカーブ が有機的につながっていることが見てとれます。 さて、理想化されたモデルにおいて単振動で記述される振動の例としては• 振り子• 電気回路• 音 空気の振動 などが挙げられます。 私たちは「振動」という言葉からバネや地震などを連想しがちですが、や、も扱えることを認識すると、三角関数の応用範囲が爆発的に広がります。 のようなもそのような扱いをすることで有益な情報を引き出せることも多いです。 さらに、のような離散的な対象に対しても「周波数成分を取り出す」という営みが拡張されていて、や、などにも応用されています。 5-2. もっと複雑な振動も 前節で登場した単振動は、最も単純な振動だと言えます。 しかしすごいことに、三角関数を組み合わせるとかなり複雑な振動を表現することができます。 例えば下図のようなかなり複雑な波形も三角関数の重ね合わせで表現できます。 その話は• に詳しく書かれています。 とても面白いです。 なぜこんなに単純に上手く行くかの背景については、に明快に記されています。 5-3. そしてフーリエ変換の使い道については、以下の資料たちにとてもよくまとまっているので是非読んでみると面白いです。 これらをまとめると、フーリエ変換の御利益として以下の 3 つが挙げられるでしょう:• 関数にどんな周波数成分が含まれているかが分かる• 微分方程式を解くのに使える フーリエ自身のモチベーションもこれでした、現代ではなどに実際に用いられています• 畳み込み計算に使える やに応用多数、高速ななどへの応用も ここでは 1 番目のスペクトル分解に関するメリットについて簡単に掘り下げてみたいと思います。 5-4. 三角関数の周波数について フーリエ変換のメリットについて掘り下げる前に、三角関数の周波数についておさらいしてみます。 一般に• 角周波数の意味は、• という感じです。 フーリエ変換は逆に「波形が与えられて、それを角周波数ごとに分解する」というイメージです。 なお、具体的な振動において、角周波数がどのような意味をもつのかを整理してみます。 これによってスペクトル分析の重要性が見えて来るのではないかと思います。 振動の種類 周波数のもつ意味 バネ 周波数が大きいほど、より高速に振動 振り子 周波数が大きいほど、より高速に振動 電気回路 周波数が大きいほど、より高速に位相が変化 音 周波数が大きいほど、より 高い音 5-5. スペクトル分析 バネの振動や、建物の振動、地震といった力学的な振動から、電気回路・信号処理といった電気的な振動、音といった空気の振動、はたまた株価のような時系列データまで、世の中には振動としてと扱いたい現象がたくさんあります。 画像でさえ、隣り合うセル間の離散的な振動とみなすことで JPEG 圧縮などの豊かな技術が生まれます。 このようなデータを分析する手段の一つとして、フーリエ変換してみるのは大変有力です。 これにより、分析したいデータにおいてどの周波数成分が強いのかを分析することができます。 そのような応用例としては、• ことで、どの周波数成分が強いかがわかれば、その周波数の揺れに強い建物を作るなどの対策を打ちやすい• 株価などを分析することで、1 年周期の周波数成分が強いことがわかれば、が高いことが読みとれる• 年周視差が計測できないような遠い銀河までの距離を知りたいときは、銀河の遠ざかって行くスピードを求めることで距離を推定するが、そのスピードを求めるために「遠ざかっている物体から出る光の波長は長い方にずれる」という性質 が利用できる 「」を参照• カラオケ精密採点において、歌声をフーリエ解析することで、音程を推定することができる も似た使い方です などなど非常に多彩です。 5-6. 高周波成分 ノイズ の除去 分析したいデータのフーリエ変換に関する、さらなる典型的な応用として 高周波成分を除去する という考え方があります。 もはや波として認識できるものではなさそうですね。 実際例えば• あまりにも高い周波数の音はと呼ばれ、人間の耳には認識できない• あまりにも高い周波数の光はと呼ばれ、人間の目には見えない といった状況になっています。 このような高周波成分を除去してしまう考え方があります。 それによって• 情報量を圧縮する など• ノイズをフィルタリングする 電気回路などにおけるの設計など• 微分方程式の近似解を得る などを参照 といった効果を期待しています。 JPEG 圧縮に関しては大変勉強になる資料があるので是非読んでみると面白いです! 下図はスライドからの引用です• おわりに 三角関数の使い方として思い浮かんだものを並べてみました。 これらによって、これから三角関数を学ぶ方のモチベーション向上に寄与できたり、三角関数の摑みどころのなさを感じていた方のモヤモヤを少しでも晴らしたりできたならば、とても嬉しい気持ちです。 参考文献 三角関数周辺の数理について参考になりそうな資料たちです。 数学史• 歴史的にどのようなニーズがあって三角比が誕生したのかを知ることは、大変有益だと思います。 三角関数の考え方や基本公式• 三角関数周辺の話題について、基礎的なものからマニアックなものまで、大変コンパクトによくまとまっています。 大変わかりやすい三角関数の解説です。 とても丁寧で読みやすいです。 三角関数に親しみを持てます。 フーリエ変換• フーリエ変換を初めて学ぶ本としていい感じです。 わかりやすいフーリエ変換に関する参考書です。

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中学数学からはじめる三角関数

三角 関数

数学に三角関数ってありますよね? 高校の数学で習ったと思うんですが、中学校でしたっけ? 高校ですよね? ま、いっか。 三角関数ってあれですよ、• 直角三角形ですよ! 直角! なので、次のような三角形で考えてはダメです。 直角三角形は次のように一つの角が直角になっている三角形ですね。 これはよく使われるのでおぼえておくようにしましょう。 ) これもよく使われ、例えばベクトルの成分の大きさ(ベクトルを分解したときの大きさ)を求めるときなどに使われます。 こんな感じのですね。 三角関数のtan(タンジェント) またまた同じ直角三角形で考えます。 あ、それから、ってありますよね? ピタゴラスの定理とも呼ばれる定理で、直角三角形の斜辺の長さを求めるときなどに使う定理で、こんなの。 なので、次のようにおぼえます。 なので、次のようにおぼえます。

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三角関数のsin・cos・tanとは?図解ですぐわかる!超重要な公式と練習問題も|高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」

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合成公式はとても重要で、暗記が必須です。 証明方法を理解しておくとより定着しますよ。 自分で証明してみると、より理解が深まりますよ。 例題 次の三角関数を合成しましょう。 それぞれ見てみましょう。 そうすると、各項にかかっている 係数を三角比の値と見ることができます。 おそらく、慣れてしまえば作図の方が簡単だと思います。 ですが、式変形の方が三角関数の合成の本来の意味に従っているので、式変形のやり方も必ず理解しておきましょう。 したがってグラフは次のようになる。 答え:.

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